Почему медиана проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы?

Почему медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы?

Этот геометрический факт объясняется теоремой о медианах в прямоугольном треугольнике.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза AB делится медианой AM на две равные части:

AM = MB

По теореме о медианах в треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на две части таким образом, что площадь треугольника, образованного медианой и гипотенузой, равна площади каждого из треугольников, образованных медианой и одной из катетов.

Таким образом, площадь треугольника AMC равна площади треугольника BMC:

0.5 * AM * AC = 0.5 * BM * BC

Известно, что медиана AM делит гипотенузу AB пополам:

AM = MB

Подставив это в уравнение, получаем:

0.5 * AM * AC = 0.5 * AM * BC

Убирая общий множитель 0.5 и деля обе стороны на AM, получаем:

AC = BC

Таким образом, длины катетов треугольника равны, что делает треугольник AMC равнобедренным.

Таким образом, медиана, проведенная к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и образует два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет площадь равную половине площади треугольника ABC.